まずWi-Fiですが、本来は「規格」です。昔無線LANが登場した時、子機と親機例えばパソコンと無線LANルーターなどに互換性がなく、接続を間違っていないのにつながらないという事が多くなり、無線LANルーターはそれほど普及しませんでした。それを打開するためにアメリカの団体が、互換性がないスムーズな接続ができる機器についてその後完成を証明する「規格」として作った言葉がWi-Fiです。
その為本来、Wi-FiとWiMAXを比較するというのはおかしいのですが、Wi-Fiを無線LANそのものの事として捉えることが多いので、Wi-FiとWiMAX、つまり無線LANとWiMAXの違いを紹介します。

Wi-FiもWiMAX無線でインターネット通信ができる技術の事をいいます。無線LANが登場するまではパソコンにケーブルをつないでインターネットをする必要があったのですが、Wi-Fi、WiMAXが登場したことでケーブルの接続がいらなくなったのです。

電波が届くところならどこでも利用できるので、自宅の場合、キッチンでもバスルームでもリビングでも自室でも利用できます。またパソコン以外、スマホ、iPod、DSなどゲーム機などでも利用ができるので、家族みなさんでストレスなくインターネットが可能となっているのです。

Wi-FiもWiMAXも基本的には無線でインターネットに接続できるという技術です。基本的には同じなのですが、違いもあります。それが、Wi-FiとWiMAXの利用範囲です。